證明的故事：從勾股定理到現(xiàn)代數(shù)學(xué)

序言 iv
第 1章　歐幾里得之前 1
1.1　勾股定理 2
1.2　勾股數(shù)組 4
1.3　無理數(shù) 7
1.4　從無理數(shù)到無窮 8
1.5　對無窮的敬畏 11
1.6　歐多克斯 12
1.7　附注 15
第 2章　歐幾里得 16
2.1　定義、定理和證明 17
2.2　等腰三角形定理與SAS 19
2.3　平行公設(shè)的變體 22
2.4　再談勾股定理 25
2.5　代數(shù)概覽 26
2.6　數(shù)論與歸納法 29
2.7　幾何級數(shù) 32
2.8　附注 36
第3章　歐幾里得之后 38
3.1　關(guān)聯(lián) 39
3.2　順序 40
3.3　合同 43
3.4　完備 44
3.5　歐幾里得平面 47
3.6　三角形不等式 49
3.7　射影幾何 50
3.8　帕普斯定理和德薩格定理 54
3.9　附注 58
第4章　代數(shù) 60
4.1　二次方程 61
4.2　三次方程 63
4.3　作為“普遍算術(shù)”的代數(shù) 67
4.4　多項式與對稱函數(shù) 68
4.5　近世代數(shù)：群 72
4.6　近世代數(shù)：域與環(huán) 76
4.7　線性代數(shù) 80
4.8　近世代數(shù)：向量空間 81
4.9　附注 85
第5章　代數(shù)幾何 91
5.1　圓錐曲線 92
5.2　費馬和笛卡兒 94
5.3　代數(shù)曲線 96
5.4　三次曲線 100
5.5　貝祖定理 102
5.6　線性代數(shù)和幾何 104
5.7　附注 106
第6章　微積分 108
6.1　從列奧納多到哈里奧特 109
6.2　無窮求和 111
6.3　牛頓的二項式級數(shù) 115
6.4　巴塞爾問題的歐拉解法 118
6.5　變化率 120
6.6　面積和體積 124
6.7　無窮小代數(shù)和幾何 128
6.8　級數(shù)微積分 134
6.9　代數(shù)函數(shù)及其積分 138
6.10　附注 141
第7章　數(shù)論 144
7.1　初等數(shù)論 145
7.2　再談勾股數(shù)組 149
7.3　費馬最后定理 154
7.4　數(shù)論中的幾何與微積分 157
7.5　高斯整數(shù) 163
7.6　代數(shù)數(shù)論 171
7.7　代數(shù)數(shù)域 174
7.8　環(huán)和理想 178
7.9　整除和素理想 183
7.10　附注 186
第8章　代數(shù)基本定理 190
8.1　在證明之前的定理 190
8.2　代數(shù)基本定理的早期“證明”及其漏洞 193
8.3　連續(xù)性和實數(shù) 195
8.4　戴德金對實數(shù)的定義 196
8.5　代數(shù)學(xué)家的基本定理 198
8.6　附注 200
第9章　非歐幾里得幾何 201
9.1　平行公設(shè) 202
9.2　球面幾何 203
9.3　球面幾何的平面模型 207
9.4　微分幾何 209
9.5　常曲率幾何 214
9.6　貝爾特拉米的雙曲幾何模型 218
9.7　復(fù)數(shù)的幾何 222
9.8　附注 224
第 10章　拓撲學(xué) 227
10.1　圖 228
10.2　歐拉多面體公式 233
10.3　歐拉示性數(shù)和虧格 237
10.4　作為曲面的代數(shù)曲線 239
10.5　曲面的拓撲 242
10.6　曲線奇點和紐結(jié) 247
10.7　賴德邁斯特移動 250
10.8　簡單的紐結(jié)不變量 253
10.9　附注 258
第 11章　算術(shù)化 260
11.1　 的完備性 261
11.2　直線、平面和空間 263
11.3　連續(xù)函數(shù) 263
11.4　定義“函數(shù)”和“積分” 265
11.5　連續(xù)性和可微性 271
11.6　一致性 273
11.7　緊致性 277
11.8　編碼連續(xù)函數(shù) 281
11.9　附注 283
第 12章　集合論 288
12.1　無窮簡史 289
12.2　等勢集合 291
12.3　與 等勢的集合 297
12.4　序數(shù) 299
12.5　用集合實現(xiàn)序數(shù) 301
12.6　根據(jù)秩對集合排序 305
12.7　不可達性 306
12.8　無窮的悖論 307
12.9　附注 308
第 13章　數(shù)、幾何和集合的公理 312
13.1　皮亞諾算術(shù) 313
13.2　幾何公理 316
13.3　實數(shù)的公理 318
13.4　集合論的公理 319
13.5　附注 322
第 14章　選擇公理 324
14.1　選擇公理和無窮 325
14.2　選擇公理和圖論 326
14.3　選擇公理和分析學(xué) 327
14.4　選擇公理和測度論 329
14.5　選擇公理和集合論 332
14.6　選擇公理和代數(shù)學(xué) 333
14.7　更弱的選擇公理 337
14.8　附注 340
第 15章　邏輯與計算 342
15.1　命題邏輯 343
15.2　命題邏輯的公理 345
15.3　謂詞邏輯 350
15.4　哥德爾完備性定理 352
15.5　邏輯歸約為計算 355
15.6　可計算枚舉集 357
15.7　圖靈機 359
15.8　半群的字問題 365
15.9　附注 370
第 16章　不完全性 375
16.1　從不可解性到不可證性 376
16.2　句法的算術(shù)化 377
16.3　根岑對PA一致性的證明 380
16.4　算術(shù)中暗含的ε0 384
16.5　可構(gòu)造性 387
16.6　算術(shù)概括 390
16.7　弱柯尼希引理 392
16.8　五大子系統(tǒng) 394
16.9　附注 396
參考文獻 397