鞅與隨機(jī)微分方程（第二版）

目錄
前言
第一版前言
全文符號
第一篇　概率論基礎(chǔ)
第1章　可測空間與乘積可測空間　3　
1.1　σ代數(shù)理論　3　
1.1.1　σ代數(shù)　3　
1.1.2　單調(diào)類定理　7　
1.2　可測空間和乘積可測空間　10　
1.2.1　可測空間　10　
1.2.2　有限維乘積可測空間　11　
1.2.3　無窮維乘積可測空間　13　
1.3　可測映射與隨機(jī)變量　15　
1.3.1　映射、可測映射　15　
1.3.2　可測函數(shù)——隨機(jī)變量　16
1.3.3　可測函數(shù)的運(yùn)算　17　
1.3.4　函數(shù)形式的單調(diào)類定理　20　
1.3.5　多維隨機(jī)變量　21　
第2章　測度與積分　23　
2.1　測度與測度空間　23　
2.1.1　測度空間　23　
2.1.2　代數(shù)上的測度　24　
2.1.3　完備測度　25　
2.1.4　分布函數(shù)及其生成的測度　26　
2.2　隨機(jī)變量的數(shù)字特征　29　
2.2.1　積分——期望　29　
2.2.2　隨機(jī)變量的矩　32
2.2.3　隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)特征　34　
2.3　隨機(jī)變量及其收斂性　35　
2.3.1　隨機(jī)變量的等價類　35　
2.3.2　幾乎必然（a.s.）收斂　37　
2.3.3　依概率收斂　38　
2.3.4　依分布收斂　39　
2.3.5　平均收斂　40　
2.4　獨(dú)立性與零一律　41　
2.4.1　獨(dú)立性　41　
2.4.2　零一律　43　
2.5　乘積可測空間上的測度　45　
2.5.1　有限維乘積空間上的測度　46　
2.5.2　無限維乘積空間上的測度　51　
第3章　條件期望　55　
3.1　廣義測度　55　
3.1.1　Hahn-Jordan分解　55　
3.1.2　Lebesgue分解　58　
3.1.3　Radon-Nikodym定理　61　
3.2　條件期望　65　
3.2.1　條件期望的定義　65　
3.2.2　條件期望的性質(zhì)　68　
3.2.3　條件概率分布　71　
3.2.4　條件獨(dú)立性　78　
第二篇　鞅
第4章　隨機(jī)過程　83　
4.1　隨機(jī)過程的概念　83　
4.2　可料過程　91　
4.3　停時　96　
4.3.1　連續(xù)時間隨機(jī)過程的停時　96　
4.3.2　離散時間隨機(jī)過程的停時　102　
4.3.3　停時隨機(jī)變量　104　
4.3.4　停時過程和截斷過程　106　
4.4　Lp收斂和一致可積　108
4.4.1　Lp收斂　108
4.4.2　隨機(jī)變量族的一致可積　110
第5章　鞅　120
5.1　鞅、下鞅和上鞅　120　
5.1.1　鞅、下鞅和上鞅的定義　120　
5.1.2　鞅的凸理論　125　
5.1.3　離散時間的增過程和Doob分解　125　
5.1.4　鞅變換　128　
5.2　下鞅基本不等式　131　
5.2.1　可選停時和可選采樣　132　
5.2.2　極大和極小不等式　139　
5.2.3　上穿和下穿不等式　147　
5.3　下鞅的收斂性　156　
5.3.1　離散時間下鞅的收斂性　156　
5.3.2　連續(xù)時間下鞅的收斂性　161　
5.3.3　用一個*終元素封閉下鞅　164　
5.3.4　離散時間平方可積（L2）鞅　167　
5.4　一致可積下鞅　172　
5.4.1　一致可積下鞅的收斂性　172　
5.4.2　逆時間下鞅　172　
5.4.3　無界停時的可選采樣　180　
5.4.4　停時隨機(jī)變量族的一致可積性　187　
5.5　下鞅樣本函數(shù)的正則性　190　
5.5.1　右連續(xù)下鞅的樣本函數(shù)　190　
5.5.2　下鞅的右連續(xù)修正　194　
5.6　連續(xù)時間的增過程　202　
5.6.1　關(guān)于增過程的積分　202　
5.6.2　右連續(xù)類（DL）下鞅的Doob-Meyer分解　207　
5.6.3　正則下鞅　225　
第三篇　隨機(jī)積分　
第6章　隨機(jī)積分　235　
6.1　平方可積鞅和它的二次變差過程　235　
6.1.1　右連續(xù)平方可積（L2）鞅空間　235
6.1.2　局部有界變差過程　244　
6.1.3　右連續(xù)平方可積（L2）鞅的二次變差過程　247　
6.2　關(guān)于鞅的隨機(jī)積分　252　
6.2.1　有界左連續(xù)適應(yīng)簡單過程關(guān)于L2鞅的隨機(jī)積分　252　
6.2.2　可料過程關(guān)于L2鞅的隨機(jī)積分　261　
6.2.3　截斷被積函數(shù)和用停時停止積分　272　
6.3　適應(yīng)Brownian運(yùn)動　278　
6.3.1　獨(dú)立增量過程　278　
6.3.2　Rd值Brownian運(yùn)動　280　
6.3.3　一維Brownian運(yùn)動　287　
6.3.4　關(guān)于Brownian運(yùn)動的隨機(jī)積分　292　
6.4　隨機(jī)積分的推廣　300　
6.4.1　局部平方可積（L2）鞅和它們的二次變差　300　
6.4.2　隨機(jī)積分對局部鞅的推廣　306　
6.5　關(guān)于擬鞅的It公式　311　
6.5.1　連續(xù)局部半鞅和關(guān)于擬鞅的It公式　311　
6.5.2　關(guān)于擬鞅的隨機(jī)積分　326　
6.5.3　指數(shù)擬鞅　328　
6.5.4　關(guān)于擬鞅的多維It公式　330　
6.6　It隨機(jī)微積分　335　
6.6.1　隨機(jī)微分的空間　335　
6.6.2　It過程　340　
6.6.3　矩不等式　345　
6.6.4　Gronwall型不等式　352　
第四篇　隨機(jī)微分方程理論　
第7章　It型隨機(jī)微分方程的一般理論　357　
7.1　隨機(jī)微分方程概述　357　
7.1.1　問題介紹　357　
7.3　解的估計　370　
7.3.1　解的Lp-估計　370　
7.3.2　解的幾乎處處漸近估計　375　
7.4　It型隨機(jī)微分方程的近似解　384　
7.4.1　Caratheodory近似解　385　
7.4.2　Euler-Maruyama近似解　389　
7.4.3　強(qiáng)解和弱解　391　
7.5　SDE和PDE：Feynman-Kac公式　393　
7.5.1　Dirichlet問題　395　
7.5.2　初始邊界值問題　398　
7.5.3　Cauchy問題　399　
7.6　隨機(jī)微分方程解的Markov性　401　
第8章　線性隨機(jī)微分方程　409　
8.1　線性隨機(jī)微分方程簡介　409　
8.2　隨機(jī)Liouville公式　410　
8.3　常數(shù)變易公式　414　
8.4　幾種特殊情形的研究　417　
8.4.1　標(biāo)量線性方程　417　
8.4.2　狹義線性方程　417　
8.4.3　自治線性方程　418　
8.5　某些特殊的線性隨機(jī)微分方程　419　
第9章　隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性　426　
9.1　穩(wěn)定性的一般概念　426　
9.2　解的依概率穩(wěn)定性　430　
9.3　解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性　440　
9.4　解的矩指數(shù)穩(wěn)定性　448　
9.5　隨機(jī)穩(wěn)定化與不穩(wěn)定化　457　
9.6　解穩(wěn)定性的進(jìn)一步論題　463　
參考文獻(xiàn)　469　
名詞索引　470