微積分大意

微積分大意
引言
一、實數(shù)理論
1.從有理數(shù)集談起
2.戴德金分劃
3.實數(shù)系的序結(jié)構(gòu)
4.確界存在定理
5.√2·√3＝√6的證明
6.實數(shù)系的戴德金性質(zhì)
二、極限論
1.關于序列極限
2.柯西收斂準則
3.一元函數(shù)
4.函數(shù)極限概念
三、連續(xù)性概念
1.連續(xù)性概念
2.一點處的連續(xù)性
3.復合函數(shù)的連續(xù)性
4.三個基本命題
5.連續(xù)模數(shù)
6.一致連續(xù)性定理
四、微積分主題淺釋
1.主題簡釋
2.柯西的積分概念
3.積分中值定理
4.積分學基本定理
5.微分中值定理
五、微商與微分
1.微分與導數(shù)的關系
2.多元函數(shù)
3.連續(xù)映射
4.可微映射
5.泰勒展開定理
6.多元泰勒公式
六、黎曼積分及其推廣
1.閉區(qū)間與開集
2.有界函數(shù)的黎曼積分
3.黎曼可積的充要條件
4.開集上的黎曼積分
5.黎曼積分的一個推廣
6.有界變差函數(shù)的積分
7.廣義積分
七、函數(shù)級數(shù)
1.阿貝爾的反例
2.一致收斂性概念
3.連續(xù)函數(shù)的級數(shù)連續(xù)性定理
4.逐項積分定理
5.逐項求導定理
6.級數(shù)連續(xù)性的充要條件
八、非標準分析大意
1.一點歷史回顧
2.非標準分析的特點
3.關于*R的高橋模型
4.超濾集的存在性
5.超濾集的作用
6.等價性概念與超冪*R
7.三分律及其驗證
8.作為有序域的*R
9.*R中的非標準實數(shù)
10.有限數(shù)的結(jié)構(gòu)定理
11.有限數(shù)的標準部分
12.牛頓“流數(shù)術”的重新解釋
13.擴張與對應置換
14.微商概念
15.等和原理
16.積分概念及積分學基本定理
數(shù)學研究中的創(chuàng)造性思維規(guī)律
一、數(shù)學研究的目的
二、數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明
三、龐加萊的發(fā)明心理學
四、數(shù)學創(chuàng)造的一般心智過程
五、關于數(shù)學抽象的幾個基本法則
數(shù)學科學與現(xiàn)代文明
一、引言
二、數(shù)學科學與近現(xiàn)代科學技術的發(fā)展
三、數(shù)學科學與文化素質(zhì)教育
四、數(shù)學科學與科學宇宙觀的演變
五、數(shù)學科學與頭腦編程
六、數(shù)學科學與美學原則
科學文化人與審美意識
一、開場白——題目的來源
二、科學文化人的一般含義
三、審美意識的重要性
四、創(chuàng)造能力與審美意識
五、培育審美意識的途徑之——發(fā)揮數(shù)學的美育功能
六、培育審美意識的最佳途徑——文理結(jié)合與文理滲透
七、審美意識與德、智、體的關系
附錄
數(shù)學家徐利治傳記
徐利治學術年表