復變函數(shù)教程

第一章 復數(shù)與復空間
1 復數(shù)域
2 復數(shù)的表示
3 復數(shù)的運算
4 不等式
5 圓周和直線方程
6 關于圓周的對稱點
7 復數(shù)的球面表示與擴充復平面
習題
第二章 復平面的拓撲
1 復平面上的開集與閉集
2 完備性
3 緊性
4 曲線
5 連通性
6 連續(xù)函數(shù)
習題
第三章 解析函數(shù)概念與初等解析函數(shù)
1 解析函數(shù)概念
2 可導的充要條件
3 導數(shù)的運算
4 導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的實可微
5 指數(shù)函數(shù)
6 儒可夫斯基函數(shù)
7 分式線性變換
8 三角函數(shù)
9 對數(shù)函數(shù)
10 冪函數(shù)
11 儒可夫斯基函數(shù)的反函數(shù)與反三角函數(shù)
11. 1 儒可夫斯基函數(shù)的反函數(shù)
11. 2 反三角函數(shù)
習題
第四章 Cauchy定理與Cauchy公式
1 積分
2 Cauchy定理
3 Cauchy公式
4 變上限積分確定的函數(shù)
5 最大模原理與Schwarz引理
習題
第五章 解析函數(shù)的級數(shù)展開
1 函數(shù)項級數(shù)
1. 1 數(shù)項級數(shù)
1. 2 函數(shù)項級數(shù)與Weierstrass定理
1. 3 級數(shù)
的收斂性
2 冪級數(shù)與Taylor展式
2. 1 冪級數(shù)
2. 2 解析函數(shù)的Taylor展式
2. 3 零點的孤立性與唯一性
3 Laurent級數(shù)與Laurent展式
3. 1 Laurent級數(shù)
3. 2 Laurent展式
3. 3 孤立奇點
4 整函數(shù)與亞純函數(shù)
習題
第六章 留數(shù)定理和幅角原理
1 留數(shù)定理
1. 1 留數(shù)的定義與計算
1. 2 留數(shù)定理
2 幅角原理與Rouche定理
2. 1 關于零點與極點的一般定理
2. 2 幅角原理與Rouche定理
3 求解析函數(shù)的零點數(shù)
4 單葉解析函數(shù)的性質
5 求亞純函數(shù)的展式
6 求某些函數(shù)的定積分
習題
第七章 調和函數(shù)
1 共軛調和微分與Green公式
1. 1 調和微分與共軛調和微分
1. 2 Green公式
2 平均值性質
3 Poisson公式與Poisson積分
3. 1 Poisson公式
3. 2 POisson積分
4 幾個等價命題與Harnack原理
4. 1 調和函數(shù)的幾個等價命題
4. 2 Harnack原理
5 次 下 調和函數(shù)
6 Dirichlet問題
習題
第八章 解析開拓
1 解析開拓概念與冪級數(shù)解析開拓
1. 1 解析開拓概念
1. 2 冪級數(shù)的解析開拓
2 對稱原理
3 單值性定理
3. 1 沿曲線的解析開拓
3. 2 單值性定理
習題
第九章 共形映射
1 共形映射的例子
1. 1 單連通區(qū)域情形
1. 2 二連通區(qū)域情形
2 黎曼存在定理
2. 1 Montel定理
2. 2 黎曼存在定理
3 邊界對應
3. 1 函數(shù)g w 的連續(xù)開拓
3. 2 函數(shù)f z 的連續(xù)開拓
4 多角形的共形映射
4. 1 Schwarz-Christoffel公式
4. 2 矩形情形
習題
附錄
習題答案與提示
名詞索引
參考書目x