泛函分析教程

序言
前言
第一章 距離空間
1.1 距離空間的定義及例子
1.2 距離空間中點列的收斂
1.3 距離空間中的點集理論
1.4 連續(xù)映射
1.5 稠密與稀疏及可分性
1.6 完備的距離空間
1.6.1 完備空間的概念
1.6.2 完備空間的例子
1.6.3 完備距離空間的兩個重要定理
1.6.4 距離空間的完備化
1.7 列緊集
1.7.1 列緊性
1.7.2 幾個具體空間中點集列緊性的判定
1.7.3 緊性
1.8 習題
第二章 賦范線性空間內(nèi)積空間
2.1 線性空間
2.2 線性運算與距離的結合問題
2.3 賦范線性空間與Banach空間
2.4 有限維賦范線性空間
2.4.1 完備性
2.4.2 范數(shù)的等價性
2.4.3 緊性
2.5 Banach不動點定理及其應用
2.6 Hilbert空間
2.6.1 內(nèi)積空間與Hilbert空間的基本概念
2.6.2 內(nèi)積空間和賦范空間的關系
2.7 直交與投影
2.8 Hilbert空間中的坐標系
2.9 習題二
第三章 拓撲空間
3.1 拓撲空間
3.1.1 拓撲空間的基本概念
3.1.2 可數(shù)性公理及分離性公理
3.1.3 緊性與列緊
3.1.4 連通與道路連通
3.1.5 Zorn引理
3.2 Urysohn引理與Tietze擴張定理
3.2.1 Urysohn引理
3.2.2 Tietze擴張定理
3.3 網(wǎng)的收斂理論
3.3.1 網(wǎng)
3.3.2 子網(wǎng)與聚點
3.3.3 泛網(wǎng)
3.4 Tychonoff定理
……
第四章 有界線性算子與連續(xù)線性泛函
4.1 有界線性算子
4.2 有界線性算子空間與共軛空間
4.3 全連續(xù)線性算子
4.4 Hahn—Banach泛函延拓定理
4.5 共鳴定理
4.6 弱收斂
4.7 閉圖像定理和逆算子定理
4.8 自反空間與共軛算子
4.9 習題四
第五章 局部凸空間
5.1 拓撲線性空間
5.2 局部凸空間
5.3 凸集與凸性
5.4 度量化與賦范化
5.5 凸集分離定理
5.6 習題五
第六章 弱拓撲
6.1 對偶定理
6.2 Alaoglu定理
6.3 自反空間
6.4 Eberlein—Shmulyan定理
6.5 習題六
第七章 Hilbert空間中的譜理論
7.1 自共軛算子
7.2 投影算子與非負算子
7.3 自共軛算子的譜分解
7.4 酉算子的譜分解
7.5 正常算子的譜分解
7.6 習題七
第八章 抽象函數(shù)
8.1 抽象函數(shù)的簡單性質(zhì)
8.2 抽象函數(shù)的可導性與Riemann積分
8.3 抽象可測函數(shù)
8.4 實可測函數(shù)的Pettis積分與Bochner積分
8.5 習題八
第九章 Banach代數(shù)
9.1 基本定義和例子
9.2 理想和商
9.3 譜理論
9.4 Riesz函數(shù)演算
9.5 線性算子和緊線性算子的譜
9.6 習題九
第十章 C*代數(shù)
10.1 基本定義和性質(zhì)
10.2 Gelfand變換
10.3 交換C*代數(shù)上的函數(shù)演算
10.4 C*代數(shù)的正錐
10.5 C*代數(shù)的表示定理和Gelfand—Naimark—Segal構造
10.6 譜測度和交換C*代數(shù)的表示定理
10.7 正常算子的譜理論
10.8 習題十
參考文獻